Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)t = 0,3f(0,3) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 13/(s + 3)² à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,3).

F(s) = 13/(s + 3)²t = 0,3 s
f(0.3) =
2.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (2s + 16)/(s² + 4s + 18). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (2s + 16)/(s² + 4s + 18)
f′(0⁺) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,75f(0,75) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 50/(s(s + 1)(s + 2)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,75).

F(s) = 50/(s(s + 1)(s + 2))t = 0,75 s
f(0.75) =
4.Moyen
ReIm−0,5−1−1,5−2−2,5−3−3,5−4−4,50,51

F(s) = 26/(s² + 7s + 12). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−3t + B·e−4t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = 26/(s² + 7s + 12)
A =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−61

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 8y′ + 12y = 12u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,4 s. Trouvez g(0,4).

y″ + 8y′ + 12y = 12ut = 0,4 s
g(0.4) =
6.Difficile
ReIm−2−4−624

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 6y′ + 25y = 3u′ + 20u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,2 s. Trouvez g(0,2).

y″ + 6y′ + 25y = 3u′ + 20ut = 0,2 s
g(0.2) =

Corrigé

  1. 1. f(0.3) = 1,586
  2. 2. f′(0⁺) = 8
  3. 3. f(0.75) = 6,96
  4. 4. A = 26
  5. 5. g(0.4) = 1,076
  6. 6. g(0.2) = 2,23

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