Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (4s + 18)/(s² + 4s + 3). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (4s + 18)/(s² + 4s + 3)
f(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 0,25f(0,25) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 11/(s + 2) + 2/s à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,25).

F(s) = 11/(s + 2) + 2/st = 0,25 s
f(0.25) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,4f(0,4) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 20/(s(s + 1)(s + 6)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,4).

F(s) = 20/(s(s + 1)(s + 6))t = 0,4 s
f(0.4) =
4.Moyen
ReIm−0,5−1−1,5−2−2,5−30,51

Trouvez f(t) pour F(s) = (5s + 10)/(s² + 6s + 10) en complétant le carré, et calculez f(0,4).

F(s) = (5s + 10)/(s² + 6s + 10)t = 0,4 s
f(0.4) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,1y(0,1) = ?

Un système obéit à y″ + 9y′ + 18y = 90·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 1 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,1).

y″ + 9y′ + 18y = 90·u(t)u(t) = 1y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,1 s
y(0.1) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,3y(0,3) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 10y = 15·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 10 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,3).

y″ + 7y′ + 10y = 15·u(t)u(t) = 10y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,3 s
y(0.3) =

Corrigé

  1. 1. f(0⁺) = 4
  2. 2. f(0.25) = 8,672
  3. 3. f(0.4) = 0,7125
  4. 4. f(0.4) = 0,8006
  5. 5. y(0.1) = 0,3359
  6. 6. y(0.3) = 3,511

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