Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(∞) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = 4(s + 2)/(s(s + 6)(s + 7)). Utilisez le théorème de la valeur finale pour trouver la valeur f(∞) vers laquelle f(t) se stabilise.

F(s) = 4(s + 2)/(s(s + 6)(s + 7))
f(∞) =
2.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (2s + 16)/(s² + 4s + 29). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (2s + 16)/(s² + 4s + 29)
f′(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−5−10−15−20

F(s) = (2s + 36)/(s² + 14s + 48). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (2s + 36)/(s² + 14s + 48)
A =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,3f(0,3) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = (5s + 36)/(s² + 8s + 16) et calculez f(0,3).

F(s) = (5s + 36)/(s² + 8s + 16)t = 0,3 s
f(0.3) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 1y(1) = ?

Un système obéit à y″ + 4y′ + 3y = 9·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 2 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(1).

y″ + 4y′ + 3y = 9·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 1 s
y(1) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,6y(0,6) = ?

Un système obéit à y″ + 6y′ + 8y = 16·u(t), avec y(0) = 3 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 5. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,6).

y″ + 6y′ + 8y = 16·u(t)y(0) = 3y′(0) = 0u(t) = 5t = 0,6 s
y(0.6) =

Corrigé

  1. 1. f(∞) = 0,1905
  2. 2. f′(0⁺) = 8
  3. 3. A = 12
  4. 4. f(0.3) = 2,952
  5. 5. y(1) = 2,838
  6. 6. y(0.6) = 6,418

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