Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (8s + 33)/(s² + 2s + 7). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (8s + 33)/(s² + 2s + 7)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 0,25f(0,25) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 11/(s + 3) + 4/s à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,25).

F(s) = 11/(s + 3) + 4/st = 0,25 s
f(0.25) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,2f(0,2) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = (5s + 22)/(s² + 6s + 9) et calculez f(0,2).

F(s) = (5s + 22)/(s² + 6s + 9)t = 0,2 s
f(0.2) =
4.Moyen
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = (6s + 4)/(s² + 8s + 16) et calculez f(0,5).

F(s) = (6s + 4)/(s² + 8s + 16)t = 0,5 s
f(0.5) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,25y(0,25) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 12y = 12·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,25).

y″ + 7y′ + 12y = 12·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,25 s
y(0.25) =
6.Difficile
ReIm−2−4−6−8

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 3y′ + 2y = 2u′ + 17u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,25 s. Trouvez g(0,25).

y″ + 3y′ + 2y = 2u′ + 17ut = 0,25 s
g(0.25) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = 17
  2. 2. f(0.25) = 9,196
  3. 3. f(0.2) = 3,512
  4. 4. f(0.5) = −0,5413
  5. 5. y(0.25) = 1,071
  6. 6. g(0.25) = 3,797

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