Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−5s + 5)/(s² + 3s + 2). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−5s + 5)/(s² + 3s + 2)
f(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 0,6f(0,6) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 2/(s + 3)² à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,6).

F(s) = 2/(s + 3)²t = 0,6 s
f(0.6) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,2f(0,2) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 45/(s(s + 5)(s + 6)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,2).

F(s) = 45/(s(s + 5)(s + 6))t = 0,2 s
f(0.2) =
4.Moyen
ReIm−2−4−6−8−10−12

F(s) = (2s + 24)/(s² + 15s + 56). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−7t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (2s + 24)/(s² + 15s + 56)
A =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,5y(0,5) = ?

Un système obéit à y″ + 7y′ + 10y = 5·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 10 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,5).

y″ + 7y′ + 10y = 5·u(t)u(t) = 10y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,5 s
y(0.5) =
6.Difficile
ReIm5

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 2y′ + 26y = u′ + u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 1,2 s. Trouvez g(1,2).

y″ + 2y′ + 26y = u′ + ut = 1,2 s
g(1.2) =

Corrigé

  1. 1. f(0⁺) = −5
  2. 2. f(0.6) = 0,1984
  3. 3. f(0.2) = 0,448
  4. 4. A = 10
  5. 5. y(0.5) = 2,208
  6. 6. g(1.2) = 0,2892

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