Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)f(0⁺) = ?

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−7s² + 23s + 8)/(s(s + 1)(s + 6)). Utilisez le théorème de la valeur initiale pour trouver f(0⁺), la valeur de f(t) juste après t = 0.

F(s) = (−7s² + 23s + 8)/(s(s + 1)(s + 6))
f(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−6s + 14)/(s² + 2s + 23). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (−6s + 14)/(s² + 2s + 23)
f′(0⁺) =
3.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−81

F(s) = 28/(s² + 11s + 28). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−4t + B·e−7t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = 28/(s² + 11s + 28)
A =
4.Moyen
ReIm−0,5−1−1,5−20,51

Trouvez f(t) pour F(s) = 13/(s² + 4s + 5) en complétant le carré, et calculez f(0,4).

F(s) = 13/(s² + 4s + 5)t = 0,4 s
f(0.4) =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,6y(0,6) = ?

Un système obéit à y″ + 5y′ + 6y = 6·u(t). Il part du repos (y(0) = 0, y′(0) = 0) et l’entrée est un échelon u(t) = 5 pour t ≥ 0. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver la sortie y(0,6).

y″ + 5y′ + 6y = 6·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0,6 s
y(0.6) =
6.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10

Un système est décrit par l’équation différentielle y″ + 8y′ + 12y = u′ + 9u, d’entrée u(t) et de sortie y(t). Trouvez sa fonction de transfert G(s) = Y(s)/U(s) (conditions initiales nulles) et calculez la réponse impulsionnelle g(t) à t = 0,75 s. Trouvez g(0,75).

y″ + 8y′ + 12y = u′ + 9ut = 0,75 s
g(0.75) =

Corrigé

  1. 1. f(0⁺) = −7
  2. 2. f′(0⁺) = 26
  3. 3. A = 9,333
  4. 4. f(0.4) = 2,275
  5. 5. y(0.6) = 2,135
  6. 6. g(0.75) = 0,3821

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