Fiche d’exercices de Transformées de Laplace avec corrigé

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1.Facile
t (s)f(t)

Un signal f(t) a pour transformée de Laplace F(s) = (−5s + 15)/(s² + 5s + 29). Trouvez la pente initiale f′(0⁺) avec le théorème de la valeur initiale.

F(s) = (−5s + 15)/(s² + 5s + 29)
f′(0⁺) =
2.Facile
t (s)f(t)t = 0,5f(0,5) = ?

Trouvez la transformée de Laplace inverse f(t) de F(s) = 11/(s + 3) − 8/s à l’aide d’une table de couples de transformées, et calculez f(0,5).

F(s) = 11/(s + 3) − 8/st = 0,5 s
f(0.5) =
3.Moyen
t (s)f(t)t = 0,1f(0,1) = ?

Trouvez f(t) pour F(s) = 15/(s(s + 5)(s + 6)) par décomposition en éléments simples, et calculez f(0,1).

F(s) = 15/(s(s + 5)(s + 6))t = 0,1 s
f(0.1) =
4.Moyen
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−81

F(s) = (4s + 28)/(s² + 9s + 18). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−3t + B·e−6t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (4s + 28)/(s² + 9s + 18)
A =
5.Difficile
t (s)y(t)t = 0,5y(0,5) = ?

Un système obéit à y″ + 6y′ + 8y = 8·u(t), avec y(0) = 6 et y′(0) = 0. À t = 0, on applique un échelon d’entrée u(t) = 4. Utilisez la transformée de Laplace pour trouver y(0,5).

y″ + 6y′ + 8y = 8·u(t)y(0) = 6y′(0) = 0u(t) = 4t = 0,5 s
y(0.5) =
6.Difficile
t (s)y(t)t = 0,6y(0,6) = ?

Résolvez y″ + 6y′ + 8y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = −6 à l’aide de la transformée de Laplace, et trouvez y(0,6).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 10y′(0) = −6t = 0,6 s
y(0.6) =

Corrigé

  1. 1. f′(0⁺) = 40
  2. 2. f(0.5) = −5,546
  3. 3. f(0.1) = 0,05244
  4. 4. A = 5,333
  5. 5. y(0.5) = 5,201
  6. 6. y(0.6) = 4,485

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