Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy2−3P

Pour f(x, y) = 2x³y² − 5x³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (2, −3).

f(x, y) = 2x³y² − 5x³ + 3xyP = (2, −3)
fy(2, −3) =
2.Facile

Pour f(x, y) = −2x³y³ − x³ + 2y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−2, 1).

f(x, y) = −2x³y³ − x³ + 2y³ + 3xyP = (−2, 1)
fyy(−2, 1) =
3.Moyen
xy−2002PQ

Pour f(x, y) = xe3y, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, 0,5) dans la direction de Q(1, 2,5).

f(x, y) = xe3yP = (−1, 0,5)Q = (1, 2,5)
Duf =
4.Moyen

z = −xy + x² + 4y³ avec x = 2t − 2 et y = −t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = −xy + x² + 4y³x = 2t − 2y = −t² − 2t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =
6.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 1/(1 + y²)² dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =

Corrigé

  1. 1. fy(2, −3) = −90
  2. 2. fyy(−2, 1) = 108
  3. 3. Duf = −6,338
  4. 4. dz/dt = 214
  5. 5. D = −256
  6. 6. I = 0,3462

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