Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −3xy − 3x² − y³, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−1, −2).

f(x, y) = −3xy − 3x² − y³P = (−1, −2)
fyy(−1, −2) =
2.Facile
xy−2−2P

Pour f(x, y) = x³y + 2x² − y² − xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−2, −2).

f(x, y) = x³y + 2x² − y² − xyP = (−2, −2)
fy(−2, −2) =
3.Moyen
xy−20012vP

Pour f(x, y) = −4x²y² + 3x³ − 3y³, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, 1) dans la direction de v = (−2, 0).

f(x, y) = −4x²y² + 3x³ − 3y³P = (−1, 1)v = (−2, 0)
Duf =
4.Moyen
xy20,5∇fP

Pour f(x, y) = 3y·e2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (2, 0,5), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3y·e2xyP = (2, 0,5)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−202(2, 1)(−2, 1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 12x + y² − 2y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 2y
fmin =
6.Difficile
xyx = 2y = 3x26

Calculez I = ∬T (4x + 2y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 2 et y = 3x.

f = 4x + 2y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 3x
I =

Corrigé

  1. 1. fyy(−1, −2) = 12
  2. 2. fy(−2, −2) = −2
  3. 3. Duf = −17
  4. 4. |∇f| = 67,42
  5. 5. fmin = −17
  6. 6. I = 56

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