Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−2−2P

Pour f(x, y) = −2xy² + y³ + xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−2, −2).

f(x, y) = −2xy² + y³ + xyP = (−2, −2)
fx(−2, −2) =
2.Facile
xyx = 2x = 5y = 2y = 12521

Calculez I = ∫25 ∫12 (−2xy² − 3) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 2.

f = −2xy² − 32 ≤ x ≤ 51 ≤ y ≤ 2
I =
3.Moyen
xy12∇fP

Pour f(x, y) = 3x³y + x² − 2y³ − 4xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3x³y + x² − 2y³ − 4xyP = (1, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy−1−1∇fP

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²), trouvez la direction de la plus forte montée en (−1, −1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)P = (−1, −1)
θ = °
5.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R y dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 1 (y ≥ 0).

f = y0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π
I =
6.Difficile
xy1,50,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la couronne 0,25 ≤ x² + y² ≤ 2,25.

f = e−(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fx(−2, −2) = −10
  2. 2. I = −58
  3. 3. |∇f| = 27,73
  4. 4. θ = −108,4 °
  5. 5. I = 0,6667
  6. 6. I = 2,116

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