Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −4x³y² + 3x³ + 2y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂x² en (1, −2).

f(x, y) = −4x³y² + 3x³ + 2y² + 2xyP = (1, −2)
fxx(1, −2) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 2x³ey, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 1).

f(x, y) = 2x³eyP = (2, 1)
fxy(2, 1) =
3.Moyen

z = −4xy − 4x² + 5y² avec x = 3t + 2 et y = 2t². Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = −4xy − 4x² + 5y²x = 3t + 2y = 2t²t = 1
dz/dt =
4.Moyen
xy−4−202024vP

Pour f(x, y) = −4x³y³ − 2x³ + 3y³ − xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, 2) dans la direction de v = (2, 1).

f(x, y) = −4x³y³ − 2x³ + 3y³ − xyP = (−1, 2)v = (2, 1)
Duf =
5.Difficile
xy−202−202(2, −1)(−2, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 12x + y² + 2y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 2y
fmin =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

Corrigé

  1. 1. fxx(1, −2) = −78
  2. 2. fxy(2, 1) = 65,24
  3. 3. dz/dt = −144
  4. 4. Duf = −55,01
  5. 5. fmin = −17
  6. 6. fmin = −2

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