Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2x = 3y = 4y = 12341

Calculez I = ∫23 ∫14 (5y + 3) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4.

f = 5y + 32 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 4
I =
2.Facile
xyx = 2x = 3y = 5y = 22352

Calculez I = ∫23 ∫25 (4y + 6) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5.

f = 4y + 62 ≤ x ≤ 32 ≤ y ≤ 5
I =
3.Moyen
xy−4−20−4−20vP

Pour f(x, y) = −3xy + x² + 2y³, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−2, −2) dans la direction de v = (2, 2).

f(x, y) = −3xy + x² + 2y³P = (−2, −2)v = (2, 2)
Duf =
4.Moyen
xy−4−20−20vP

Pour f(x, y) = −x³y² + 4y² + 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−2, −1) dans la direction de v = (3, −1).

f(x, y) = −x³y² + 4y² + 2xyP = (−2, −1)v = (3, −1)
Duf =
5.Difficile
xy−202−2024(−1, 3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x² − xy + 2y² + 5x − 13y + 3, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x² − xy + 2y² + 5x − 13y + 3
fmin =
6.Difficile
xyx = 4y = 0,5x42

Calculez I = ∬T (4x + 2y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 4 et y = 0,5x.

f = 4x + 2y0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 0,5x
I =

Corrigé

  1. 1. I = 46,5
  2. 2. I = 60
  3. 3. Duf = 22,63
  4. 4. Duf = −4,427
  5. 5. fmin = −19
  6. 6. I = 48

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