Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = y·exy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 1).

f(x, y) = y·exyP = (2, 1)
fxy(2, 1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 5x³y³ + 5x² − y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 2).

f(x, y) = 5x³y³ + 5x² − y³ + 3xyP = (1, 2)
fxy(1, 2) =
3.Moyen

z = 4xy² + y² avec x = 3t − 2 et y = −t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.

z = 4xy² + y²x = 3t − 2y = −t² + 1t = 0
dz/dt =
4.Moyen
xy22∇fP

Pour f(x, y) = −3xy − x² − 4y², trouvez la direction de la plus forte montée en (2, 2) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = −3xy − x² − 4y²P = (2, 2)
θ = °
5.Difficile
xyx = 1,2y = x1,2

L’intégrale I = ∫01,2 ∫y1,2 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,2
I =
6.Difficile
xy−202−202(2, 0)(−2, 0)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 12x − y², classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 12x − y²
fmax =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 1) = 29,56
  2. 2. fxy(1, 2) = 183
  3. 3. dz/dt = 12
  4. 4. θ = −114,4 °
  5. 5. I = 0,4348
  6. 6. fmax = 16

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