Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = x²y + 4x² + y³ + 4xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 1).

f(x, y) = x²y + 4x² + y³ + 4xyP = (1, 1)
fxy(1, 1) =
2.Facile
xyx = 1x = 4y = 4y = 11441

Calculez I = ∫14 ∫14 (3x·ey) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 4.

f = 3x·ey1 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 4
I =
3.Moyen
xy−4−20−2−10vP

Pour f(x, y) = −4x²y² − 5x³ − 2y³ − 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, −1) dans la direction de v = (−4, 0).

f(x, y) = −4x²y² − 5x³ − 2y³ − 3xyP = (−1, −1)v = (−4, 0)
Duf =
4.Moyen
xy3−1∇fP

Pour f(x, y) = x³y³ − 3x² − 2y³ + xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (3, −1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = x³y³ − 3x² − 2y³ + xyP = (3, −1)
θ = °
5.Difficile
xyy = 2xy = x²24

Calculez I = ∬R y dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 2x.

y = x²y = 2xf = y
I =
6.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 1 dans le premier quadrant.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(1, 1) = 6
  2. 2. I = 1167
  3. 3. Duf = 4
  4. 4. θ = 120,5 °
  5. 5. I = 2,133
  6. 6. I = 0,4965

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