Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 1x = 3y = 2132

Calculez I = ∫13 ∫02 (y² − 1) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2.

f = y² − 11 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2
I =
2.Facile

Pour f(x, y) = −3x³y² + 3x³ + y³ + 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (−1, 1).

f(x, y) = −3x³y² + 3x³ + y³ + 2xyP = (−1, 1)
fyy(−1, 1) =
3.Moyen
xy−10123−202PQ

Pour f(x, y) = 4x³y³ − 2x³ − 4y² + 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(1, 1) dans la direction de Q(1, −3).

f(x, y) = 4x³y³ − 2x³ − 4y² + 2xyP = (1, 1)Q = (1, −3)
Duf =
4.Moyen
xy0,50,5P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = −2x³ey en (0,5, 0,5) pour approcher f(0,4, 0,7). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = −2x³ey(a, b) = (0,5, 0,5)(x, y) = (0,4, 0,7)
L =
5.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =
6.Difficile
xy21

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la couronne 1 ≤ x² + y² ≤ 4.

f = x² + y²1 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. I = 1,333
  2. 2. fyy(−1, 1) = 12
  3. 3. Duf = −6
  4. 4. L = −0,2473
  5. 5. D = −256
  6. 6. I = 23,56

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