Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 5x³y − 2x³ − y³ − 4xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, −2).

f(x, y) = 5x³y − 2x³ − y³ − 4xyP = (−1, −2)
fxy(−1, −2) =
2.Facile

Pour f(x, y) = ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 1).

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (2, 1)
fxy(2, 1) =
3.Moyen
xy024024PQ

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(0,5, 0,5) dans la direction de Q(4,5, 3,5).

f(x, y) = 2 ln(x² + 3y²)P = (0,5, 0,5)Q = (4,5, 3,5)
Duf =
4.Moyen
xy11∇fP

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + y²), trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3 ln(x² + y²)P = (1, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xyx = 3y = 3x39

Calculez I = ∬T (2x + y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 3 et y = 3x.

f = 2x + y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 3x
I =
6.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 1.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(−1, −2) = 11
  2. 2. fxy(2, 1) = −0,5
  3. 3. Duf = 5,2
  4. 4. |∇f| = 4,243
  5. 5. I = 94,5
  6. 6. I = 1,571

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