Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = 4x³y − 5x² + y² − 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 2).

f(x, y) = 4x³y − 5x² + y² − 2xyP = (2, 2)
fxy(2, 2) =
2.Facile

Pour f(x, y) = −y·e2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 0,5).

f(x, y) = −y·e2xyP = (2, 0,5)
fxy(2, 0.5) =
3.Moyen
xy−10∇fP

Pour f(x, y) = xey, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, 0), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = xeyP = (−1, 0)
|∇f| =
4.Moyen
xy−12∇fP

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + y²), trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (−1, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xy0202(0, 0)(2, 2)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ + y³ − 6xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ + y³ − 6xy
fmin =
6.Difficile
xy31

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la couronne 1 ≤ x² + y² ≤ 9.

f = x² + y²1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, 2) = 46
  2. 2. fxy(2, 0.5) = −29,56
  3. 3. |∇f| = 1,414
  4. 4. |∇f| = 1,789
  5. 5. fmin = −8
  6. 6. I = 125,7

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