Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 2x³y² − y³ − 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂y² en (1, −1).

f(x, y) = 2x³y² − y³ − 2xyP = (1, −1)
fyy(1, −1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3y·exy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 1).

f(x, y) = 3y·exyP = (−1, 1)
fxy(−1, 1) =
3.Moyen

z = x²y² + 2x³ − y² − 3xy avec x = 2t + 1 et y = −2t². Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = x²y² + 2x³ − y² − 3xyx = 2t + 1y = −2t²t = −1
dz/dt =
4.Moyen
xy024024PQ

Pour f(x, y) = 4xy³ − 3x² + 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(2, 2) dans la direction de Q(4, −1).

f(x, y) = 4xy³ − 3x² + 3xyP = (2, 2)Q = (4, −1)
Duf =
5.Difficile
xyy = xy = x²11

Calculez I = ∬R y dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = x.

y = x²y = xf = y
I =
6.Difficile
xyx = 0,8y = x0,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫y0,8 ex² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ex²0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8
I =

Corrigé

  1. 1. fyy(1, −1) = 10
  2. 2. fxy(−1, 1) = 1,104
  3. 3. dz/dt = 20
  4. 4. Duf = −70,45
  5. 5. I = 0,06667
  6. 6. I = 0,4482

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