Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2x = 4y = 4y = 22442

Calculez I = ∫24 ∫24 (4x²y + 3) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 4.

f = 4x²y + 32 ≤ x ≤ 42 ≤ y ≤ 4
I =
2.Facile
xy−3−3P

Pour f(x, y) = 2xy³ − 5x² + 3y³ + xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−3, −3).

f(x, y) = 2xy³ − 5x² + 3y³ + xyP = (−3, −3)
fx(−3, −3) =
3.Moyen
xy32∇fP

Pour f(x, y) = x²y² + 4x² − 4y² + 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (3, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = x²y² + 4x² − 4y² + 3xyP = (3, 2)
|∇f| =
4.Moyen

z = −3x²y³ − x³ + 3y² − 3xy avec x = −t + 1 et y = 2t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = −3x²y³ − x³ + 3y² − 3xyx = −t + 1y = 2t² + 1t = 1
dz/dt =
5.Difficile
xy31

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est la couronne 1 ≤ x² + y² ≤ 9.

f = √(x² + y²)1 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy−202−202ABC

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
  1. 1A (2, 2)
  2. 2B (0, 0)
  3. 3C (−2, −2)

Corrigé

  1. 1. I = 460
  2. 2. fx(−3, −3) = −27
  3. 3. |∇f| = 61,29
  4. 4. dz/dt = 81
  5. 5. I = 54,45
  6. 6. B (0, 0)

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