Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile
xyx = 1x = 3y = 3y = 11331

Calculez I = ∫13 ∫13 (−2x²y + 6) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3.

f = −2x²y + 61 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 3
I =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3 sin(−2x − 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, 2).

f(x, y) = 3 sin(−2x − 2y)P = (2, 2)
fxy(2, 2) =
3.Moyen

z = x²e2y avec x = t et y = 2t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = x²e2yx = ty = 2t² − 1t = −1
dz/dt =
4.Moyen
xy−11∇fP

Pour f(x, y) = −y·e2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −y·e2xyP = (−1, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 cos(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
6.Difficile
xyy = 1y = x11

L’intégrale I = ∫01 ∫x1 ey² dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ey²0 ≤ x ≤ y ≤ 1
I =

Corrigé

  1. 1. I = −45,33
  2. 2. fxy(2, 2) = 11,87
  3. 3. dz/dt = −73,89
  4. 4. |∇f| = 0,3026
  5. 5. I = 0,389
  6. 6. I = 0,8591

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