Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 1x = 4y = 2y = 11421

Calculez I = ∫14 ∫12 (x·e0,5y) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 2.

f = x·e0,5y1 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 2
I =
2.Facile
xy1−1P

Pour f(x, y) = −2x²e−y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, −1).

f(x, y) = −2x²e−yP = (1, −1)
fy(1, −1) =
3.Moyen
xy−4−202024PQ

Pour f(x, y) = −3xy + 4y², trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, 2) dans la direction de Q(−4, 4).

f(x, y) = −3xy + 4y²P = (−1, 2)Q = (−4, 4)
Duf =
4.Moyen
xy−2−2∇fP

Pour f(x, y) = 4x³y − x³ + 3y³ − 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, −2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 4x³y − x³ + 3y³ − 3xyP = (−2, −2)
|∇f| =
5.Difficile
xy0−4−202(2, −3)(−2, −3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 6y
fmin =
6.Difficile
xy−505−4−202(3, −2)(−3, −2)

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4y a un point critique en (3, −2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 4yP = (3, −2)
D =

Corrigé

  1. 1. I = 16,04
  2. 2. fy(1, −1) = 5,437
  3. 3. Duf = 15,53
  4. 4. |∇f| = 102,5
  5. 5. fmin = −25
  6. 6. D = 36

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