1.Facile
Pour f(x, y) = −3x³y² + 4x³ − 3y² + xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 1).
f(x, y) = −3x³y² + 4x³ − 3y² + xyP = (−1, 1)
fxy(−1, 1) =
Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé
2.Facile
Pour f(x, y) = sin(x + 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 1).
f(x, y) = sin(x + 2y)P = (−1, 1)
fxy(−1, 1) =
3.Moyen
Le plan tangent à z = −x²y² + 4x² − 4y² + 2xy au point où (x, y) = (1, 3) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.
f(x, y) = −x²y² + 4x² − 4y² + 2xy(a, b) = (1, 3)
c =
4.Moyen
z = −3x²y² + 3y³ + 2xy avec x = 3t − 1 et y = t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.
z = −3x²y² + 3y³ + 2xyx = 3t − 1y = t² + 1t = 1
dz/dt =
5.Difficile
f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 6y a un point critique en (2, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².
f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 6yP = (2, −3)
D =
6.Difficile
Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 9.
f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =
Corrigé
- 1. fxy(−1, 1) = −17
- 2. fxy(−1, 1) = −1,683
- 3. c = 53
- 4. dz/dt = −148
- 5. D = 24
- 6. I = 56,55
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