Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = 2x²e0,5y, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, −1).

f(x, y) = 2x²e0,5yP = (2, −1)
fxy(2, −1) =
2.Facile
xyx = 1x = 3y = 1131

Calculez I = ∫13 ∫01 (6y − 2) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1.

f = 6y − 21 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
3.Moyen
xy−2024−202PQ

Pour f(x, y) = ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(2, 1) dans la direction de Q(−2, −3).

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (2, 1)Q = (−2, −3)
Duf =
4.Moyen

z = 2x³y³ + 5x³ + y² + xy avec x = 3t + 1 et y = −t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.

z = 2x³y³ + 5x³ + y² + xyx = 3t + 1y = −t² − 2t = 0
dz/dt =
5.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 cos(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
6.Difficile
xyy = 0,8y = x0,80,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫x0,8 sin(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, −1) = 2,426
  2. 2. I = 2
  3. 3. Duf = −1,01
  4. 4. dz/dt = −105
  5. 5. I = 0,389
  6. 6. I = 0,09895

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