Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−13P

Pour f(x, y) = 5x³y + x² − y³ + 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, 3).

f(x, y) = 5x³y + x² − y³ + 3xyP = (−1, 3)
fy(−1, 3) =
2.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = y·e−xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 1).

f(x, y) = y·e−xyP = (0,5, 1)
fy(0.5, 1) =
3.Moyen
xy−21∇fP

Pour f(x, y) = −x²y − x² − 5y² + 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −x²y − x² − 5y² + 2xyP = (−2, 1)
|∇f| =
4.Moyen
xy−500246PQ

Pour f(x, y) = 4x²y + 5x³ − y³, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−2, 3) dans la direction de Q(2, 3).

f(x, y) = 4x²y + 5x³ − y³P = (−2, 3)Q = (2, 3)
Duf =
5.Difficile
xy−20202(1, 2)(−1, 2)

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y a un point critique en (1, 2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4yP = (1, 2)
D =
6.Difficile
xyx = 1y = x1

L’intégrale I = ∫01 ∫y1 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =

Corrigé

  1. 1. fy(−1, 3) = −35
  2. 2. fy(0.5, 1) = 0,3033
  3. 3. |∇f| = 20,59
  4. 4. Duf = 12
  5. 5. D = 12
  6. 6. I = 0,2298

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