Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy10,5P

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 0,5).

f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²)P = (1, 0,5)
fx(1, 0.5) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3y·e2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, −1).

f(x, y) = 3y·e2xyP = (2, −1)
fxy(2, −1) =
3.Moyen
xy−2024024PQ

Pour f(x, y) = −x³y³ + x² − y³ + 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(1, 2) dans la direction de Q(−2, −1).

f(x, y) = −x³y³ + x² − y³ + 2xyP = (1, 2)Q = (−2, −1)
Duf =
4.Moyen
xy−22∇fP

Pour f(x, y) = 3x³y³ − 3x² + 4y³ + xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3x³y³ − 3x² + 4y³ + xyP = (−2, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xyx = 0,8y = x0,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫y0,8 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8
I =
6.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 sin(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =

Corrigé

  1. 1. fx(1, 0.5) = 4
  2. 2. fxy(2, −1) = 0,2198
  3. 3. Duf = 28,28
  4. 4. |∇f| = 387
  5. 5. I = 0,09895
  6. 6. I = 0,8141

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