Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy12P

Pour f(x, y) = −3xy² − x³ − 4y² + 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 2).

f(x, y) = −3xy² − x³ − 4y² + 4xyP = (1, 2)
fx(1, 2) =
2.Facile
xy1−1P

Pour f(x, y) = 3x³e2y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, −1).

f(x, y) = 3x³e2yP = (1, −1)
fy(1, −1) =
3.Moyen

z = ln(x² + 2y²) avec x = t + 2 et y = 2t² + 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = ln(x² + 2y²)x = t + 2y = 2t² + 2t = 1
dz/dt =
4.Moyen
xy−4−202024vP

Pour f(x, y) = 3x³y² + 5x³ − 5y² − xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, 2) dans la direction de v = (0, 1).

f(x, y) = 3x³y² + 5x³ − 5y² − xyP = (−1, 2)v = (0, 1)
Duf =
5.Difficile
xy2

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
6.Difficile
xyx = 1y = x1

L’intégrale I = ∫01 ∫y1 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1
I =

Corrigé

  1. 1. fx(1, 2) = −7
  2. 2. fy(1, −1) = 0,812
  3. 3. dz/dt = 1,707
  4. 4. Duf = −31
  5. 5. I = 12,57
  6. 6. I = 0,2298

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