Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy2−3P

Pour f(x, y) = 3x²y + x³ + 3y³ + 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (2, −3).

f(x, y) = 3x²y + x³ + 3y³ + 4xyP = (2, −3)
fy(2, −3) =
2.Facile
xy−11P

Pour f(x, y) = 5 sin(3x + 3y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, 1).

f(x, y) = 5 sin(3x + 3y)P = (−1, 1)
fy(−1, 1) =
3.Moyen
xy3−1∇fP

Pour f(x, y) = 4x²y − 5x² − 3y³ + xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (3, −1) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 4x²y − 5x² − 3y³ + xyP = (3, −1)
θ = °
4.Moyen
xy−1012−20vP

Pour f(x, y) = −2xe2y, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (0,5, 0) dans la direction de v = (1, −2).

f(x, y) = −2xe2yP = (0,5, 0)v = (1, −2)
Duf =
5.Difficile
xyy = 2y = x22

L’intégrale I = ∫02 ∫x2 cos(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2
I =
6.Difficile
xyx = 4y = 0,5x42

Calculez I = ∬T (3x + 4y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 4 et y = 0,5x.

f = 3x + 4y0 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 0,5x
I =

Corrigé

  1. 1. fy(2, −3) = 101
  2. 2. fy(−1, 1) = 15
  3. 3. θ = 151,4 °
  4. 4. Duf = 0,8944
  5. 5. I = −0,3784
  6. 6. I = 42,67

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