Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = y·exy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, −1).

f(x, y) = y·exyP = (1, −1)
fxy(1, −1) =
2.Facile
xyx = 2x = 3y = 1231

Calculez I = ∫23 ∫01 (3x·e−y) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1.

f = 3x·e−y2 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1
I =
3.Moyen

z = −3xy + 4x³ − 4y² avec x = −3t − 2 et y = 2t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.

z = −3xy + 4x³ − 4y²x = −3t − 2y = 2t² − 1t = 0
dz/dt =
4.Moyen
xy−3−2−101−4−20PQ

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, −1) dans la direction de Q(−1, −5).

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (−1, −1)Q = (−1, −5)
Duf =
5.Difficile
xy10,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est la couronne 0,25 ≤ x² + y² ≤ 1.

f = √(x² + y²)0,5 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy a un point critique en (2, 2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (2, 2)
D =

Corrigé

  1. 1. fxy(1, −1) = −0,3679
  2. 2. I = 4,741
  3. 3. dz/dt = −153
  4. 4. Duf = 4,8
  5. 5. I = 1,833
  6. 6. D = 2048

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