Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,50,5P

Pour f(x, y) = ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, 0,5).

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (0,5, 0,5)
fx(0.5, 0.5) =
2.Facile
xy−12P

Pour f(x, y) = −4x²y³ + 4x² − 2y³ + xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, 2).

f(x, y) = −4x²y³ + 4x² − 2y³ + xyP = (−1, 2)
fx(−1, 2) =
3.Moyen
xy05−4−20vP

Pour f(x, y) = −x²y³ + 2x³ − 2y³ + 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (3, −2) dans la direction de v = (4, 0).

f(x, y) = −x²y³ + 2x³ − 2y³ + 3xyP = (3, −2)v = (4, 0)
Duf =
4.Moyen
xy1−1∇fP

Pour f(x, y) = 5 sin(3x − 2y), trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 5 sin(3x − 2y)P = (1, −1)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−1012(1, 1)(−1, 1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y
fmin =
6.Difficile
xy−202−2024(1, 3)(−1, 3)

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6y a un point critique en (−1, 3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 6yP = (−1, 3)
D =

Corrigé

  1. 1. fx(0.5, 0.5) = 0,8
  2. 2. fx(−1, 2) = 58
  3. 3. Duf = 96
  4. 4. |∇f| = 5,114
  5. 5. fmin = −3
  6. 6. D = −12

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