Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−3−1P

Pour f(x, y) = −3x²y + 4x² − 3y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−3, −1).

f(x, y) = −3x²y + 4x² − 3y² + 2xyP = (−3, −1)
fy(−3, −1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3 sin(−x + 2y), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, −1).

f(x, y) = 3 sin(−x + 2y)P = (0,5, −1)
fxy(0.5, −1) =
3.Moyen
xy−12∇fP

Pour f(x, y) = sin(x − 2y), trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = sin(x − 2y)P = (−1, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy−4−20−4−202PQ

Pour f(x, y) = −3x³y³ + 4x² + 3y² − 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−2, −2) dans la direction de Q(1, 2).

f(x, y) = −3x³y³ + 4x² + 3y² − 2xyP = (−2, −2)Q = (1, 2)
Duf =
5.Difficile
xy−202−202ABC

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy. Cliquez sur le point selle.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
  1. 1A (−1, −1)
  2. 2B (0, 0)
  3. 3C (1, 1)
6.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 cos(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =

Corrigé

  1. 1. fy(−3, −1) = −27
  2. 2. fxy(0.5, −1) = −3,591
  3. 3. |∇f| = 0,6343
  4. 4. Duf = 389,6
  5. 5. B (0, 0)
  6. 6. I = 0,389

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