Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−2−1P

Pour f(x, y) = −xy³ + x² + 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−2, −1).

f(x, y) = −xy³ + x² + 2xyP = (−2, −1)
fx(−2, −1) =
2.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 1).

f(x, y) = 3 ln(x² + 4y²)P = (0,5, 1)
fy(0.5, 1) =
3.Moyen
xy050PQ

Pour f(x, y) = x²y − 4x² + 4y² + 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(3, 1) dans la direction de Q(4, −3).

f(x, y) = x²y − 4x² + 4y² + 2xyP = (3, 1)Q = (4, −3)
Duf =
4.Moyen
xy33P

Le plan tangent à z = 2x²y³ − 3x² + 4y³ − 4xy au point où (x, y) = (3, 3) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2x²y³ − 3x² + 4y³ − 4xy(a, b) = (3, 3)
c =
5.Difficile
xyx = 3y = 2x36

Calculez I = ∬T (4x − 2y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 3 et y = 2x.

f = 4x − 2y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2x
I =
6.Difficile
xy−202−2−101(1, −1)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x³ − 3x + y² + 2y, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x³ − 3x + y² + 2y
fmin =

Corrigé

  1. 1. fx(−2, −1) = −5
  2. 2. fy(0.5, 1) = 5,647
  3. 3. Duf = −26,19
  4. 4. c = −2097
  5. 5. I = 36
  6. 6. fmin = −3

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