Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−11P

Pour f(x, y) = 3x²e2y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, 1).

f(x, y) = 3x²e2yP = (−1, 1)
fx(−1, 1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = −y·e3xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 0,5).

f(x, y) = −y·e3xyP = (1, 0,5)
fxy(1, 0.5) =
3.Moyen
xy−2−2∇fP

Pour f(x, y) = −4xy² + 3x³ − 2y³ + xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, −2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −4xy² + 3x³ − 2y³ + xyP = (−2, −2)
|∇f| =
4.Moyen
xy−1−1P

Le plan tangent à z = −2x²e2y au point où (x, y) = (−1, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = −2x²e2y(a, b) = (−1, −1)
c =
5.Difficile
xyx = 2y = x2

L’intégrale I = ∫02 ∫y2 sin(x²) dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 2
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy a un point critique en (1, 1). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (1, 1)
D =

Corrigé

  1. 1. fx(−1, 1) = −44,33
  2. 2. fxy(1, 0.5) = −23,53
  3. 3. |∇f| = 60,73
  4. 4. c = −0,2707
  5. 5. I = 0,8268
  6. 6. D = 128

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