Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−10,5P

Pour f(x, y) = 3xe2y, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, 0,5).

f(x, y) = 3xe2yP = (−1, 0,5)
fy(−1, 0.5) =
2.Facile
xy33P

Pour f(x, y) = 3x²y² − x³ + 2y² − 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (3, 3).

f(x, y) = 3x²y² − x³ + 2y² − 3xyP = (3, 3)
fy(3, 3) =
3.Moyen
xy0,50,5∇fP

Pour f(x, y) = sin(x − y), trouvez le taux de variation maximal de f au point (0,5, 0,5), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = sin(x − y)P = (0,5, 0,5)
|∇f| =
4.Moyen
xy10,5∇fP

Pour f(x, y) = xe−y, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 0,5), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = xe−yP = (1, 0,5)
|∇f| =
5.Difficile
xy−505−4−202(3, −1)(−3, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 2y, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 27x − y² − 2y
fmax =
6.Difficile
xyy = 3xy = x²39

Calculez I = ∬R xy dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 3x.

y = x²y = 3xf = xy
I =

Corrigé

  1. 1. fy(−1, 0.5) = −16,31
  2. 2. fy(3, 3) = 165
  3. 3. |∇f| = 1,414
  4. 4. |∇f| = 0,8578
  5. 5. fmax = 55
  6. 6. I = 30,38

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