Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−12P

Pour f(x, y) = 3x²y² − 4x³ − 2y² − 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, 2).

f(x, y) = 3x²y² − 4x³ − 2y² − 3xyP = (−1, 2)
fy(−1, 2) =
2.Facile
xyx = 2x = 4y = 3243

Calculez I = ∫24 ∫03 (2x²y²) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3.

f = 2x²y²2 ≤ x ≤ 40 ≤ y ≤ 3
I =
3.Moyen
xy32∇fP

Pour f(x, y) = −3x²y² + 3y³, trouvez le taux de variation maximal de f au point (3, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −3x²y² + 3y³P = (3, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy22P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = −4x³y − 5x³ + 2y³ − 4xy en (2, 2) pour approcher f(1,8, 1,9). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = −4x³y − 5x³ + 2y³ − 4xy(a, b) = (2, 2)(x, y) = (1,8, 1,9)
L =
5.Difficile
xy0−4−202(2, −3)(−2, −3)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 6y, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 6y
fmax =
6.Difficile
xy10,25

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est la couronne 0,0625 ≤ x² + y² ≤ 1.

f = e−(x² + y²)0,25 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fy(−1, 2) = 7
  2. 2. I = 336
  3. 3. |∇f| = 101,8
  4. 4. L = −69,6
  5. 5. fmax = 25
  6. 6. I = 1,796

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