Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy2−1P

Pour f(x, y) = 3y·e−xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, −1).

f(x, y) = 3y·e−xyP = (2, −1)
fx(2, −1) =
2.Facile

Pour f(x, y) = 3y·e2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (1, 0,5).

f(x, y) = 3y·e2xyP = (1, 0,5)
fxy(1, 0.5) =
3.Moyen
xy12∇fP

Pour f(x, y) = x²y² + 4x³ − 5y² − xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = x²y² + 4x³ − 5y² − xyP = (1, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy−13P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = −3xy³ + x² − 3y³ + 3xy en (−1, 3) pour approcher f(−1,2, 3,2). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = −3xy³ + x² − 3y³ + 3xy(a, b) = (−1, 3)(x, y) = (−1,2, 3,2)
L =
5.Difficile
xy−505−4−202AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6y. Cliquez sur le minimum local.

f(x, y) = x³ − 27x + y² + 6y
  1. 1A (3, −3)
  2. 2B (−3, −3)
6.Difficile
xy−202−2−101(1, −1)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x³ + 3x − y² − 2y
fmax =

Corrigé

  1. 1. fx(2, −1) = −22,17
  2. 2. fxy(1, 0.5) = 24,46
  3. 3. |∇f| = 24,76
  4. 4. L = 6,2
  5. 5. A (3, −3)
  6. 6. fmax = 3

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