Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−11P

Pour f(x, y) = 5xy − 3x² − 4y², trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, 1).

f(x, y) = 5xy − 3x² − 4y²P = (−1, 1)
fx(−1, 1) =
2.Facile
xy−3−2P

Pour f(x, y) = 3xy³ + 2x² − 5y², trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−3, −2).

f(x, y) = 3xy³ + 2x² − 5y²P = (−3, −2)
fy(−3, −2) =
3.Moyen
xy0,50,5∇fP

Pour f(x, y) = ln(x² + 4y²), trouvez le taux de variation maximal de f au point (0,5, 0,5), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (0,5, 0,5)
|∇f| =
4.Moyen
xy1−2∇fP

Pour f(x, y) = 2x³y³ + 3x² + 5y³ − 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, −2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 2x³y³ + 3x² + 5y³ − 2xyP = (1, −2)
|∇f| =
5.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 1 (y ≥ 0).

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π
I =
6.Difficile
xy−50−4−202(0, 0)(−3, −3)

f(x, y) = x³ + y³ + 9xy a un point critique en (−3, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 9xyP = (−3, −3)
D =

Corrigé

  1. 1. fx(−1, 1) = 11
  2. 2. fy(−3, −2) = −88
  3. 3. |∇f| = 3,298
  4. 4. |∇f| = 90,38
  5. 5. I = 0,7854
  6. 6. D = 243

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