Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−33P

Pour f(x, y) = 2x³y² + x³ − 5y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−3, 3).

f(x, y) = 2x³y² + x³ − 5y² + 2xyP = (−3, 3)
fy(−3, 3) =
2.Facile

Pour f(x, y) = −3xy + 4y², trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, −2).

f(x, y) = −3xy + 4y²P = (−1, −2)
fxy(−1, −2) =
3.Moyen
xy−202024vP

Pour f(x, y) = y·e3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (0,5, 1) dans la direction de v = (−3, 3).

f(x, y) = y·e3xyP = (0,5, 1)v = (−3, 3)
Duf =
4.Moyen
xy0,51∇fP

Pour f(x, y) = x²e2y, trouvez le taux de variation maximal de f au point (0,5, 1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = x²e2yP = (0,5, 1)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy a un point critique en (−1, −1). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xyP = (−1, −1)
D =
6.Difficile
xyx = 2y = x22

Calculez I = ∬T (x + 2y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 2 et y = x.

f = x + 2y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ x
I =

Corrigé

  1. 1. fy(−3, 3) = −360
  2. 2. fxy(−1, −2) = −3
  3. 3. Duf = −1,585
  4. 4. |∇f| = 8,261
  5. 5. D = 128
  6. 6. I = 5,333

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