Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,50,5P

Pour f(x, y) = −y·exy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, 0,5).

f(x, y) = −y·exyP = (0,5, 0,5)
fx(0.5, 0.5) =
2.Facile

Pour f(x, y) = −2xy³ + x³ − 3y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, −2).

f(x, y) = −2xy³ + x³ − 3y² + 2xyP = (−1, −2)
fxy(−1, −2) =
3.Moyen
xy12∇fP

Pour f(x, y) = 3 sin(−2x + 3y), trouvez le taux de variation maximal de f au point (1, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 3 sin(−2x + 3y)P = (1, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy10,5P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = −y·e3xy en (1, 0,5) pour approcher f(1,05, 0,4). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = −y·e3xy(a, b) = (1, 0,5)(x, y) = (1,05, 0,4)
L =
5.Difficile
xy05−2024(0, 0)(3, 3)

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 9xyP = (0, 0)
D =
6.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R √(x² + y²) dA, où R est la moitié supérieure du disque x² + y² ≤ 1 (y ≥ 0).

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π
I =

Corrigé

  1. 1. fx(0.5, 0.5) = −0,321
  2. 2. fxy(−1, −2) = −22
  3. 3. |∇f| = 7,07
  4. 4. L = −1,288
  5. 5. D = −81
  6. 6. I = 1,047

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