Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = ln(x² + 3y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, 1).

f(x, y) = ln(x² + 3y²)P = (0,5, 1)
fxy(0.5, 1) =
2.Facile
xy11P

Pour f(x, y) = sin(−x + 3y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, 1).

f(x, y) = sin(−x + 3y)P = (1, 1)
fy(1, 1) =
3.Moyen

z = 2x²y³ − 3x² + 4y² − 3xy avec x = 3t + 1 et y = t². Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.

z = 2x²y³ − 3x² + 4y² − 3xyx = 3t + 1y = t²t = 0
dz/dt =
4.Moyen
xy−1−1P

Le plan tangent à z = 2x³y + x² + 2y³ au point où (x, y) = (−1, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 2x³y + x² + 2y³(a, b) = (−1, −1)
c =
5.Difficile
xyy = 4xy = x²416

Trouvez l’aire I = ∬R 1 dA de la région R comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 4x.

y = x²y = 4xf = 1
I =
6.Difficile
xyx = 1y = 0,5x10,5

Calculez I = ∬T (x + 3y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 1 et y = 0,5x.

f = x + 3y0 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ 0,5x
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(0.5, 1) = −0,568
  2. 2. fy(1, 1) = −1,248
  3. 3. dz/dt = −18
  4. 4. c = −3
  5. 5. I = 10,67
  6. 6. I = 0,2917

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