Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy10,5P

Pour f(x, y) = ln(x² + 4y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 0,5).

f(x, y) = ln(x² + 4y²)P = (1, 0,5)
fx(1, 0.5) =
2.Facile
xy2−1P

Pour f(x, y) = −3xy − 3x³ − 3y², trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, −1).

f(x, y) = −3xy − 3x³ − 3y²P = (2, −1)
fx(2, −1) =
3.Moyen
xy−3−2−101−4−20PQ

Pour f(x, y) = x³e2y, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−1, 0) dans la direction de Q(0, −4).

f(x, y) = x³e2yP = (−1, 0)Q = (0, −4)
Duf =
4.Moyen
xy33P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = x³y³ − 3x³ + 3y² − 3xy en (3, 3) pour approcher f(3,05, 3,2). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = x³y³ − 3x³ + 3y² − 3xy(a, b) = (3, 3)(x, y) = (3,05, 3,2)
L =
5.Difficile
xyy = 1,5y = x1,51,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫x1,5 sin(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1,5
I =
6.Difficile
xyy = 1,2y = x1,21,2

L’intégrale I = ∫01,2 ∫x1,2 1/(1 + y²)² dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + y²)²0 ≤ x ≤ y ≤ 1,2
I =

Corrigé

  1. 1. fx(1, 0.5) = 1
  2. 2. fx(2, −1) = −33
  3. 3. Duf = 2,668
  4. 4. L = 827,6
  5. 5. I = 0,8141
  6. 6. I = 0,2951

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