Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile
xyx = 2y = 323

Calculez I = ∫02 ∫03 (2y − 1) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.

f = 2y − 10 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 3
I =
2.Facile
xy−2−3P

Pour f(x, y) = −2xy − 5x² + 5y², trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−2, −3).

f(x, y) = −2xy − 5x² + 5y²P = (−2, −3)
fx(−2, −3) =
3.Moyen
xy−13∇fP

Pour f(x, y) = 4xy − 5x³ − 4y³, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−1, 3), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = 4xy − 5x³ − 4y³P = (−1, 3)
|∇f| =
4.Moyen
xy−10123−101vP

Pour f(x, y) = 2xe−y, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (1, 0) dans la direction de v = (1, 0).

f(x, y) = 2xe−yP = (1, 0)v = (1, 0)
Duf =
5.Difficile
xy−202−20(2, −2)(−2, −2)

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4y a un point critique en (2, −2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ − 12x + y² + 4yP = (2, −2)
D =
6.Difficile
xyx = 1,5y = x1,5

L’intégrale I = ∫01,5 ∫y1,5 1/(1 + x²)² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 1,5
I =

Corrigé

  1. 1. I = 12
  2. 2. fx(−2, −3) = 26
  3. 3. |∇f| = 112
  4. 4. Duf = 2
  5. 5. D = 24
  6. 6. I = 0,3462

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