Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nouvelle fiche S’entraîner en ligne avec indices

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Nom: ____________________ Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −y·e^3xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 0,5).

f(x, y) = −y·e^3xyP = (−1, 0,5)

f_xy(−1, 0.5) =

2.Facile

Calculez I = ∫₀³ ∫₀² (−y² − 4) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2.

f = −y² − 40 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 2

I =

3.Moyen

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 4x³y² − 5x² − 2y³ − 4xy en (−2, 1) pour approcher f(−1,95, 0,9). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 4x³y² − 5x² − 2y³ − 4xy(a, b) = (−2, 1)(x, y) = (−1,95, 0,9)

L =

4.Moyen

z = 3 sin(−2x − 2y) avec x = −2t + 1 et y = −2t² + 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 2.

z = 3 sin(−2x − 2y)x = −2t + 1y = −2t² + 1t = 2

dz/dt =

5.Difficile

f(x, y) = x³ + y³ − 9xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = x³ + y³ − 9xyP = (0, 0)

D =

6.Difficile

Calculez I = ∬_R x dA, où R est la région comprise entre la parabole y = x² et la droite y = 2x.

y = x²y = 2xf = x

I =

Corrigé

1. f_xy(−1, 0.5) = −0,1673
2. I = −32
3. L = −36,6
4. dz/dt = 24,48
5. D = −81
6. I = 1,333

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