Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 2y = 4y = 1241

Calculez I = ∫02 ∫14 (−2xy + 1) dy dx sur le rectangle 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 4.

f = −2xy + 10 ≤ x ≤ 21 ≤ y ≤ 4
I =
2.Facile
xyx = 1x = 3y = 4y = 11341

Calculez I = ∫13 ∫14 (y² − 3) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4.

f = y² − 31 ≤ x ≤ 31 ≤ y ≤ 4
I =
3.Moyen
xy−3−2−101−2−10vP

Pour f(x, y) = 4x³y³ − 4x² − 3y³ + 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−1, −1) dans la direction de v = (0, 1).

f(x, y) = 4x³y³ − 4x² − 3y³ + 3xyP = (−1, −1)v = (0, 1)
Duf =
4.Moyen
xy−5005PQ

Pour f(x, y) = x³y + 4x² + 3y³ − 2xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(−2, 3) dans la direction de Q(−1, −1).

f(x, y) = x³y + 4x² + 3y³ − 2xyP = (−2, 3)Q = (−1, −1)
Duf =
5.Difficile
xy1,50,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est la couronne 0,25 ≤ x² + y² ≤ 2,25.

f = x² + y²0,5 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =

Corrigé

  1. 1. I = −24
  2. 2. I = 24
  3. 3. Duf = −24
  4. 4. Duf = −71,31
  5. 5. I = 7,854
  6. 6. fmin = −32

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