Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy−32P

Pour f(x, y) = −2xy² + 4x² − xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−3, 2).

f(x, y) = −2xy² + 4x² − xyP = (−3, 2)
fx(−3, 2) =
2.Facile
xyx = 2x = 5y = 4y = 12541

Calculez I = ∫25 ∫14 (4x²y − 2) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 4.

f = 4x²y − 22 ≤ x ≤ 51 ≤ y ≤ 4
I =
3.Moyen
xy−4−20−4−20vP

Pour f(x, y) = 4xy³ − 5x² + 3y³ − 4xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en (−2, −2) dans la direction de v = (0, 3).

f(x, y) = 4xy³ − 5x² + 3y³ − 4xyP = (−2, −2)v = (0, 3)
Duf =
4.Moyen
xy0,52∇fP

Pour f(x, y) = 3y·exy, trouvez la direction de la plus forte montée en (0,5, 2) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 3y·exyP = (0,5, 2)
θ = °
5.Difficile
xy02−101(2, 0)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = −x² − xy − y² + 4x + 2y + 5, classez-les, et donnez la valeur fmax de f en son maximum local.

f(x, y) = −x² − xy − y² + 4x + 2y + 5
fmax =
6.Difficile
xy0202(0, 0)(2, 2)

f(x, y) = x³ + y³ − 6xy a un point critique en (2, 2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 6xyP = (2, 2)
D =

Corrigé

  1. 1. fx(−3, 2) = −34
  2. 2. I = 1152
  3. 3. Duf = −52
  4. 4. θ = 26,57 °
  5. 5. fmax = 9
  6. 6. D = 108

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