Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx = 1x = 4y = 3y = 11431

Calculez I = ∫14 ∫13 (x²y − 3) dy dx sur le rectangle 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 3.

f = x²y − 31 ≤ x ≤ 41 ≤ y ≤ 3
I =
2.Facile
xy2−1P

Pour f(x, y) = sin(2x − 2y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (2, −1).

f(x, y) = sin(2x − 2y)P = (2, −1)
fx(2, −1) =
3.Moyen
xy−2−2P

Le plan tangent à z = 3x²y − 5x² + 3y³ + 2xy au point où (x, y) = (−2, −2) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 3x²y − 5x² + 3y³ + 2xy(a, b) = (−2, −2)
c =
4.Moyen
xy10,5P

Utilisez le plan tangent de f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²) en (1, 0,5) pour approcher f(1,2, 0,4). Donnez l’approximation linéaire L.

f(x, y) = 3 ln(x² + 2y²)(a, b) = (1, 0,5)(x, y) = (1,2, 0,4)
L =
5.Difficile
xy05−4−202(3, −3)

f(x, y) = −2x² + 2xy − 3y² + 18x − 24y + 5 a un point critique en (3, −3). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −2x² + 2xy − 3y² + 18x − 24y + 5P = (3, −3)
D =
6.Difficile
xy1,5

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 2,25 dans le premier quadrant.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 1,50 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. I = 66
  2. 2. fx(2, −1) = 1,92
  3. 3. c = 108
  4. 4. L = 1,616
  5. 5. D = 20
  6. 6. I = 1,988

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