Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + y²), trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (0,5, 1).

f(x, y) = 2 ln(x² + y²)P = (0,5, 1)
fxy(0.5, 1) =
2.Facile
xyx = 2x = 5y = 2252

Calculez I = ∫25 ∫02 (3x·e−y) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2.

f = 3x·e−y2 ≤ x ≤ 50 ≤ y ≤ 2
I =
3.Moyen
xy−202024vP

Pour f(x, y) = ln(x² + 2y²), trouvez la dérivée directionnelle Duf en (0,5, 0,5) dans la direction de v = (−2, 3).

f(x, y) = ln(x² + 2y²)P = (0,5, 0,5)v = (−2, 3)
Duf =
4.Moyen
xy024−4−20PQ

Pour f(x, y) = −3x²y² + 4x³ + 5y² + 4xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(2, −1) dans la direction de Q(−1, −4).

f(x, y) = −3x²y² + 4x³ + 5y² + 4xyP = (2, −1)Q = (−1, −4)
Duf =
5.Difficile
xyx = 0,8y = x0,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫y0,8 ex² dx dy ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = ex²0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8
I =
6.Difficile
xy−202−20AB

Les points marqués sont les points critiques de f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y. Cliquez sur le maximum local.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² − 4y
  1. 1A (−2, −2)
  2. 2B (2, −2)

Corrigé

  1. 1. fxy(0.5, 1) = −2,56
  2. 2. I = 27,24
  3. 3. Duf = 1,479
  4. 4. Duf = −38,18
  5. 5. I = 0,4482
  6. 6. B (2, −2)

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