Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −4x²y² + 3x³ + 5y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (2, −2).

f(x, y) = −4x²y² + 3x³ + 5y² + 2xyP = (2, −2)
fxy(2, −2) =
2.Facile
xy10,5P

Pour f(x, y) = 3 sin(x + 3y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (1, 0,5).

f(x, y) = 3 sin(x + 3y)P = (1, 0,5)
fx(1, 0.5) =
3.Moyen

z = −2x³y² + 5x² − 2y³ − xy avec x = t + 2 et y = t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = −2x³y² + 5x² − 2y³ − xyx = t + 2y = t² − 2t = 1
dz/dt =
4.Moyen
xy2−2∇fP

Pour f(x, y) = 5x²y³ − 4y³ − 3xy, trouvez la direction de la plus forte montée en (2, −2) sous la forme de l’angle θ avec l’axe des x positif, en degrés entre −180° et 180°.

f(x, y) = 5x²y³ − 4y³ − 3xyP = (2, −2)
θ = °
5.Difficile
xy05−2024(3, 2)

f(x, y) = −2x² + xy − y² + 10x + y + 4 a un point critique en (3, 2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = −2x² + xy − y² + 10x + y + 4P = (3, 2)
D =
6.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est le quart du disque x² + y² ≤ 9 dans le premier quadrant.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(2, −2) = 66
  2. 2. fx(1, 0.5) = −2,403
  3. 3. dz/dt = 175
  4. 4. θ = 129,6 °
  5. 5. D = 7
  6. 6. I = 31,81

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