Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy1−3P

Pour f(x, y) = −x³y − 5x³ − 3y³ − 3xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (1, −3).

f(x, y) = −x³y − 5x³ − 3y³ − 3xyP = (1, −3)
fy(1, −3) =
2.Facile
xyx = 2x = 5y = 2252

Calculez I = ∫25 ∫02 (2x²y² + 1) dy dx sur le rectangle 2 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 2.

f = 2x²y² + 12 ≤ x ≤ 50 ≤ y ≤ 2
I =
3.Moyen
xy11P

Le plan tangent à z = 3 ln(x² + 3y²) au point où (x, y) = (1, 1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 3 ln(x² + 3y²)(a, b) = (1, 1)
c =
4.Moyen

z = −xy³ + 5x² − 3y³ + 2xy avec x = −2t − 2 et y = −t² − 1. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 1.

z = −xy³ + 5x² − 3y³ + 2xyx = −2t − 2y = −t² − 1t = 1
dz/dt =
5.Difficile
xyx = 2y = 2x24

Calculez I = ∬T (3x + 4y) dA sur le triangle T délimité par y = 0, x = 2 et y = 2x.

f = 3x + 4y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 2x
I =
6.Difficile
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =

Corrigé

  1. 1. fy(1, −3) = −85
  2. 2. I = 214
  3. 3. c = −1,841
  4. 4. dz/dt = 64
  5. 5. I = 37,33
  6. 6. fmin = −2

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