Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Pour f(x, y) = −3xy − x³ − 2y³, trouvez la dérivée partielle seconde ∂²f/∂x² en (1, −2).

f(x, y) = −3xy − x³ − 2y³P = (1, −2)
fxx(1, −2) =
2.Facile
xy−3−3P

Pour f(x, y) = −x³y + 3x³ + 4y² − 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−3, −3).

f(x, y) = −x³y + 3x³ + 4y² − 2xyP = (−3, −3)
fx(−3, −3) =
3.Moyen
xy−22∇fP

Pour f(x, y) = xy² − 2x³ − 4y³ − 2xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = xy² − 2x³ − 4y³ − 2xyP = (−2, 2)
|∇f| =
4.Moyen
xy−22∇fP

Pour f(x, y) = −2x²y³ − 3y² − 3xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, 2), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −2x²y³ − 3y² − 3xyP = (−2, 2)
|∇f| =
5.Difficile
xy−202−202(0, 0)(1, 1)(−1, −1)

Trouvez les points critiques de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy, classez-les, et donnez la valeur fmin de f en son minimum local.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 4xy
fmin =
6.Difficile
xy−20−2−101(0, 0)(−1, −1)

f(x, y) = x³ + y³ + 3xy a un point critique en (0, 0). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ + 3xyP = (0, 0)
D =

Corrigé

  1. 1. fxx(1, −2) = −6
  2. 2. fx(−3, −3) = 168
  3. 3. |∇f| = 57,27
  4. 4. |∇f| = 117,3
  5. 5. fmin = −2
  6. 6. D = −9

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