Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = 5 sin(−2x + y), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (0,5, 1).

f(x, y) = 5 sin(−2x + y)P = (0,5, 1)
fx(0.5, 1) =
2.Facile
xy0,51P

Pour f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²), trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (0,5, 1).

f(x, y) = 2 ln(x² + 2y²)P = (0,5, 1)
fy(0.5, 1) =
3.Moyen
xy−2−1∇fP

Pour f(x, y) = −3xy³ + 5x² − 4y³ + 4xy, trouvez le taux de variation maximal de f au point (−2, −1), c’est-à-dire |∇f|.

f(x, y) = −3xy³ + 5x² − 4y³ + 4xyP = (−2, −1)
|∇f| =
4.Moyen

z = 2 ln(x² + 4y²) avec x = 2t − 1 et y = −t² − 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = −1.

z = 2 ln(x² + 4y²)x = 2t − 1y = −t² − 2t = −1
dz/dt =
5.Difficile
xy1

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R (x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 1.

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2π
I =
6.Difficile
xy02−20(1, −2)

f(x, y) = 2x² − 2xy + y² − 8x + 6y + 2 a un point critique en (1, −2). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = 2x² − 2xy + y² − 8x + 6y + 2P = (1, −2)
D =

Corrigé

  1. 1. fx(0.5, 1) = −10
  2. 2. fy(0.5, 1) = 3,556
  3. 3. |∇f| = 21,1
  4. 4. dz/dt = −2,667
  5. 5. I = 1,571
  6. 6. D = 4

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